괴델, 에셔, 바흐(Douglas Richard Hofstadter, 1979)

Gödel, Escher, Bach 또는 줄여서 “GEB”는 Douglas Hofstadter가 쓴 과학 텍스트입니다. 개정판을 바탕으로 책은 1027페이지에 달하는 분량으로, 음악가 “요한 제바스티안 바흐”, 수학자 “쿠르트 괴델”, 판화가 “모리츠 코르넬리스” 에셔”를 주제로 “자기 참조”라는 주제로 구성되어 있습니다. 세 사람에게서 발견되는 “이상한 순환”에 대해 이야기하고 있었습니다. 많은 사람들이 이 책이 수학, 음악, 예술을 연결하는 사슬을 만든 것처럼 이야기했지만, 저자에 따르면 이 책은 완전히 다른 목적을 가지고 있습니다. 책 서문에서 다음과 같은 언급으로 결론을 맺는다.

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좀 더 기계적으로 설명하자면 넌센스 기호 체계가 어떻게 “의미”를 만들어내는지를 보여주는 책이라고 볼 수 있습니다.

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이 책의 구조는 매우 섬세하다. 바흐의 “음악제”의 구성에 따라 구분된 챕터, “대화”의 수많은 은유와 수준 높은 단어 유희, 책 중간에 붙인 에셔의 판화 등은 모두 감탄할 만한 예술적 구조이다. 또한 내용 전개 방식이 근본적인 문제에서 출발하여 점차 독자의 지식 수준이 향상되어 이 책을 읽고 내 영혼이 크게 향상되었음을 느끼게 한다.

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GEB는 크게 1부 GEB와 2부 EGB로 나뉜다. 1부는 바흐의 음악, 에셔의 그림, 괴델의 정리에서 발생하는 ‘이상한 고리’, 즉 ‘자기 방향’ 현상을 찾아 그것이 어떤 느낌인지 정확히 설명한다(어떤 느낌인지 말해줘. 이 부분은 얼핏 보면 개념 부분이 없으면 책을 계속 읽으면서 이런 현상이 일어날 수 있다고 생각해야 한다. “재귀”의 속성을 설명하는 “전경과 배경”을 참조하십시오. 그리고 책에서 사용할 고급 시스템 “활자 수 이론”이 나타납니다. 나중에이 활자 수 이론 (이하 TNT라고 함)을 증명하는 데 사용되었습니다. 그 괴델은 불완전성 정리를 위한 도구입니다.

두 번째 부분에서는 첫 번째 부분에서 논의한 내용을 바탕으로 인공 지능의 출현과 그 안에 상징적 “자아”의 표현에 대한 Hofstadter 자신의 성찰을 전개합니다.

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다시 말하지만 가장 흥미롭고 미스터리한 부분은 14장 “TNT 및 관련 시스템에 대한 형식적으로 결정 불가능한 제안”입니다. 이 글에서는 쿠르트 괴델의 불완전성 정리의 핵심과 증명 시스템의 본질적인 불완전성을 보여줍니다. 콘텐츠를 보면 몇 가지 개념이 필요합니다.

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1. 증명 쌍: 어떤 식으로든 관련된 자연수 쌍.

2. Arithmoquining: “자기 참조 문장”을 생성하는 산술(술어 시스템 내에서) quinization

3. Quinnify는 Quinnization의 문장을 인용합니다.

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이제 1,2,3을 통해 다음 TNT 방정식을 유도합니다.

식의 괴델 수 u를 정의합니다.

산술은 이 표현을 quinnize합니다. (자유 변수 a” 대신 u에 대한 숫자 삽입)

우리는 이것을 G라고 부릅니다. 이것은 다음과 같습니다.

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“다음 숫자 a와 a‘존재하지 않는다. (1) 하나와 하나‘안티-TNT 쌍을 형성합니다. 동시에 (2)‘u의 산술 quinization입니다.

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그러나 산술 5중항의 정의에 따르면 G의 괴델수는 u의 산술 5중항이므로 ua의 산술 5진법‘분명히 존재한다

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이것은 다시:

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“TNT 방지 쌍을 형성하기 위해 숫자 a와 u의 산술 5분의 1이 없습니다.”

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이것은 다시:

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“괴델 수는 u의 산술 Quine의 표현이며 TNT 정리가 아닙니다.”

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하지만 ‘괴델 수는 u의 산술 에이전트의 표현입니다.‘는 G 자신이다. 그건:

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“G는 TNT 정리가 아닙니다.”

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이 부분이 암시하는 바는 “수론적 문장”은 넌센스 기호로 구성된 형식 체계(TNT)에서 매우 낮은 수준에서 구현되며, 이는 상위 수준의 “자기 지시적 메타-TNT 문장”입니다. 즉, Gödel은 설명을 술어로 바꿨습니다!

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TNT 정리에서 파생된 문장 G는 참이지만 동시에 그것이 가리키는 것은 거짓입니다. 이것은 시스템의 “구멍”을 나타내는 결정 불가능한 문제입니다. 그러나 형식 시스템에서는 이러한 모순을 재정의할 수 있고 더 확장된 시스템을 사용하여 구멍을 메울 수 있다고 주장할 수도 있습니다. 괴델은 이에 대해 “본질적 불완전성”을 요구하는데, 이는 책의 “시스템으로부터의 탈출” 섹션에 잘 설명되어 있습니다. 대체로 시스템이 자기 참조 문장을 가질 만큼 충분히 강하다면 불완전함이 있어야 합니다.

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이것들은 책의 작은 부분에 불과합니다. 괴델의 불완전성 정리는 “자기 지시적 표현”을 효과적으로 증명하기 위한 수단일 뿐인 반면, 호프스태터는 헨킨 문제, 틀 이론, 봉가드 문제 등을 통해 “층론”과 “층론”을 설명하려 한다. “혼합”의 개념적 요소가 얽혀 있는 순서가 핵심입니다. 뇌, 지능 및 인공 지능과 같은 더 높은 수준을 나타내는 데 다시 사용됩니다.

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Douglas Hofstadter는 뇌의 여러 층을 통해 생각을 설명하려고 시도했습니다. 이전의 모든 노력은 헛수고지만 결국은 후대에 맡겨야 한다. 그러나 그는 자신의 아이디어가 사회, 종교 및 수많은 다른 분야에서 발견될 수 있는 이상한 고리를 푸는 데 도움이 될 것이라고 믿습니다. 그리고 우리 시대는 혼돈의 시대에서 복잡한 시스템의 시대로 접어들었습니다.

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이 책은 나에게 생각의 폭을 넓힐 수 있는 기회를 주었다. 더 높은 수준의 표현은 낮은 수준에서 만들어지며 거기에서 발생하는 마법의 도약은 얼마나 많은 수준이 상호작용하는지를 결정합니다. 앞으로의 흥미와 학습의욕을 높일 수 있는 자기계발의 도움을 받을 수 있을 것 같습니다. 적어도 한 번은 반드시 읽어야 합니다.

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